ABSTRACT ALGEBRA

  1.) प्रत्येक चक्रीय समूह आवेली होता है|

हल:- माना कि G एक चक्रीय समूह है तब हम जानते हैं कि प्रत्येक चक्रीय समूह का एक जनक अवश्य होता है और इसलिए G का भी एक जनक होगा माना कि यह जनक a है और इसलिए समूह जी का प्रत्येक अवयव, अवयव a की किसी पूर्णअंक की घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है माना कि x तथा y समूह G के कोई दो अवयव है तब चुकी G का जनक a है और इसलिए G के अवयव x और y को जनक a की पूर्ण अंकीय घाट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

x= a^r,           y=a^s                   जहां r तथा s कोई पूर्णांक है|

x.y =   a^r  .a^s =   a^(r+s)   = a^(s+r)      क्योंकि दो पूर्णांकों का योग सदैव कर्मविनिमय होता है|

= a^s .a^r = y .x



अतः x y  =  y x    ∀x,yG




2) यदि कोई समूह आवेली नहीं है है तो वह निश्चित रूप से अचक्रीय होगा ।
हल :- उदाहरण के लिए  Q8 समूह आवेली नहीं है और इसलिए यह चक्रीय भी नहीं है